別居と不倫
夫婦が別居していると、婚姻関係が破綻していたとみられる可能性が高いでしょう。
婚姻関係が破綻していれば、妻・夫が他の異性と関係があった場合も不倫・不貞行為（以下、「行為」といいます。）とはならないかもしれません。
では、別居して１か月目に行為があった場合でも不倫・不貞行為とならないかというと、それは無理でしょう。まだ、婚姻関係が破綻したと判断するのは早すぎだと思います。
ただし、婚姻関係が破綻したので、１か月前に別居状態となったのであれば、婚姻関係破綻後の行為かもしれません。
この場合、不倫の慰謝料請求ができるのかどうか、慰謝料請求ができるという前提で当事者間の協議ができるのかどうかは難しいところだと思います。それも含めて「協議」ということになります。
不倫が発覚して、「夫婦で話し合った結果、離婚の可能性もある、とりあえず別居して様子をみる」というのは、現状では「別居している」「婚姻関係が破綻した」とはいえないでしょう。
家庭内別居
「家庭内別居」は、普通は別居ではありません。
しかし、完全に別居したかったけれども、経済的事情で別居ができなかっただけということもあるかもしれません。
長期間、別居していれば、婚姻関係が破綻していたという根拠を示さなくても慰謝料等の損害賠償責任が生じないという例もあるようです。
家庭内別居をしていたけれども、婚姻関係が破綻してはいなかったということであれば、まず内容証明郵便で、不倫の慰謝料請求の根拠・請求額などを通知しておくとよいでしょう。請求する人が婚姻関係破綻についても記しておくと協議の進行がスムーズだと思います。